Tablas de Verdad

Introducción

La tabla de verdad nos permite determinar la verdad de una proposición molecular mediante la verdad o falsedad de las proposiciones atómicas que las componen.

Quienes definen esta operación binaria sobre un conjunto de proposiciones son los conectivos lógicos. De esta manera, los conectivos lógicos no son solamente términos de enlaces que unen dos o más proposiciones, sino que las unen, de tal manera que resulta una proposición cuyo valor de verdad o falsedad depende únicamente del valor de verdad o falsedad de sus componentes.

Definición

Una tabla de verdad es un arreglo tabular que muestra el valor de verdad de una formula bien formada para cada asignación de valores de verdad de sus proposiciones.

Valores de Verdad y Falsedad

Una proposición puede ser verdadera o falsa. El valor de verdad y de falsedad de cada proposición depende únicamente del valor de verdad o falsedad de sus argumentos. Utilizaremos dos valores para indicar cada uno, "V" para el valor de verdad y "F" para el valor de falsedad.

Metodología Práctica para el Uso de las Tablas de Verdad.

1.- Se calcula el número de líneas de los valores de las variables aplicando la fórmula 2ⁿ , donde n es el número de variables que contiene la formula, y “2” es una constante que hace referencia a los dos valores V y F que puede asumir cualquier proposición atómica. Se colocan los valores de verdad debajo de cada variable proposicional. Si una proposición molecular se componen de 2 proposiciones atómicas distintas, el número de cada línea en la tabla será de 2´2, es decir, 2². Si una proposición molecular se componen de 3 proposiciones atómicas distintas, el número de cada línea en la tabla será de 2´2´2, es decir, 2³. Y así, sucesivamente. Se escribe en la primera columna de valores la mitad de valores verdaderos y la mitad de falsos.

2.- Se repiten esos valores de verdad debajo de cada variable proposicional dentro de la formula proposicional, tomando en cuenta la negación si la hay.

3.- Se obtiene primero el valor de verdad de los paréntesis.

4.- Se comparan los resultados de ese valor de verdad del paréntesis con el valor de verdad del corchete.

5.- Por último, se compara el resultado de ese valor de verdad del corchete con el valor de verdad de las llaves, para obtener el resultado final.

A continuación definiremos las reglas para la:

La conjunción. Una proposición conjuntiva es verdadera únicamente si las proposiciones que la constituyen son verdaderas. En otros casos es siempre falsa.

P	Q	P&Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

La disyunción. Una proposición disyuntiva es siempre verdadera, excepto si las proposiciones que la constituyen son ambas falsas.

P	Q	PÚQ
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

La condicional. Una proposición condicional es verdadera siempre, excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

P	Q	PÞQ
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

La bicondicional. Una proposición bicondicional es únicamente verdadera si las proposiciones que la constituyen son ambas verdaderas o ambas falsas. En otros casos es siempre falsa.

P	Q	PÛQ
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

La negación. La negación de una proposición verdadera es falsa y la negación de una proposición falsa es verdadera.

Tautología, Contingencia y Contradicción.

Tautología. Una proposición molecular es una tautología sólo si el resultado de la columna final, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones atómicas que las componen, es siempre verdadero.

Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.

Contingencia. Una proposición molecular es una contingencia sólo si el resultado de su columna final, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones atómicas que las componen es verdadero o falsas a la vez.

Contradicción. Una proposición molecular es una contradicción sólo si el resultado de su columna final, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones atómicas que las componen es siempre falso, una de las más usadas y más sencilla es P&-P.

Ejemplo.

P: La puerta es verde.

La proposición P&-P equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es verde”. Por lo tanto sé esta contradiciendo o se dice que es una falacia.

Ejercicios: Construir la tabla de verdad para cada una de las siguientes expresiones. Indique para cada expresión si es una tautología, contingencia o contradicción.

1) PÞ (PÞ P) Þ P

2) (P&-Q) Þ(--PÛQ)

3) (PÛQ)ÛR

4) (P&Q) Þ [-Q&(PÚR)]

5) -[(P&Q) ÚR] Þ(PÛQ)

6) (PÞ-Q) Û[RÞ(-QÚP)]

7) [(PÚR)Þ(PÚQ)] Þ (QÚR)

8) [PÞ(QÚR)]Û[PÚ(-Q&R)]

9) [(-PÚR)ÛP]Þ[Q&(-QÞR)]

10) [PÞ(Q&-R)]Û([PÚ-Q)&(RÞP)]

11) [P&(PÞQ)] ÞQ

12) (PÞQ) Û (-PÚQ)

13) [(PÞQ)&(QÞR)] Þ(PÞR)

14) (PÛ Q) Û [(P&Q) Ú (-P&-Q)]

15) [Q&(PÞQ)] ÞP

16) -[PÚ(Q&R)]Û[(PÚQ)&(PÚR)]

Equivalencia lógica e Implicación lógica.

Equivalencia lógica. Se dice que dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismos valores de verdad. Se indican como P º Q.

Esto no implica que P y Q, "signifiquen" la misma cosa: "si x es un entero entonces 2x es un entero" y "la luna está hecha de queso verde entonces está lloviendo" tienen la misma forma lógica PÞ-Q y son lógicamente equivalentes

Un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (PÞQ) y (-QÞ -P) para los mismos valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que de (PÞQ)º(-QÞ -P).

Teorema. Si P es equivalente a Q si y sólo si PÛQ.

Ejercicios: Demuestre que

1) --P es equivalente a P.

2) (PÛQ)&Q es equivalente a -P.

3) P&(QÞR) Ú(-P&Q) es equivalente a [(-PÚ-Q)ÚR]&(PÚQ)

4) [-P&( R Þ Q)]Ú[P&-(QÞR) es equivalente a [(P&Q)&-R]Ú[(-P&Q) Ú (-P&-Q)]

Implicación lógica. Se dice que una proposición P implica lógicamente a una proposición Q, si se verifica una de las siguientes condiciones:

1) - PÚQ, es una tautología.

2) P&-Q, es una contradicción.

3) PÞQ, es una tautología.

Ejercicios: Demuestre que

1) P implica lógicamente a (PÞQ)ÞQ.

2) (PÞQ) implica lógicamente a (QÞR)Þ(PÞR).

3) (PÞQ) implica lógicamente a [QÚ(PÚR)]ÚP.

Argumentación y Evaluación.

El problema básico, en el cálculo de las funciones de verdad como arte aplicado, es el de representar y evaluar las proposiciones y argumentos de la vida cotidiana. Consideremos, por ejemplo, la proposición siguiente:

"Si la droga pasa tanto la prueba A y la prueba B entonces la compañía la lanzará si y sólo si puede producirse para venderse provechosamente y el gobierno no interviene".

Un análisis lógico adecuado de esta proposición puede comenzar con el simbolismo

(P&Q)Þ[RÛ(S&-T)]

donde las letras denotan las siguientes proposiciones:

P= la droga pasa la prueba A.

Q= la droga pasa la prueba A.

R= la compañía la lanzará al mercado la droga.

S= puede producirse para venderse provechosamente.

T= el gobierno no interviene.

La cuestión básica que nos preguntamos entonces es bajo qué condiciones es cierta esta proposición. Tenemos, en este caso, cinco variables proposicionales que aquí ocurren, y a cada una de éstas, podemos asignarles el valor V o F, independientemente; luego hay 2⁵=32 filas en la tabla de verdad completa.

Ejercicios

a) PÛQº(P&Q) Ú(-P&-Q)

b) PÛQº(PÞQ)&(QÞP)

c) PÛQº(-PÚQ) &(PÚ-Q)

d) (P&Q) Ú(Q&R) ºQ&(PÚR)

Leyes de la Lógica

Ley Conmutativa.

La ley conmutativa asevera que una conjunción o una disyunción son ambas conmutativas. Por ejemplo, se tiene P&Q y PÚQ, podemos cambiar el orden de colocación de las proposiciones. Entonces tendríamos Q & P y Q Ú P.

(P&Q) º (Q&P)

(PÚQ) º (QÚP)

Ley Asociativa.

La ley asociativa afirma que la propiedad de una proposición molecular de tres o más proposiciones atómicas, no cambia variándose el orden de agrupación de esas proposiciones. De esta regla se beneficia tanto la conjunción como la disyunción.

[(P&Q) &R] º [P& (Q&R)]

[(PÚQ) ÚR] º [PÚ (QÚR)]

Ley Distributiva.

La ley distributiva afirma que el conectivo "&" se distribuye con respecto al operador "Ú " y viceversa.

[(P&Q)ÚR] º [(PÚR) & (QÚR)]

[(PÚQ) &R] º [(P&R)Ú(Q&R)]

El conectivo condicional también se distribuye a través del conectivo disyuntivo.

PÞ (QÚR)º (PÞQ)Ú(PÞR)

La condicional tiene otras dos posibilidades, es distributiva sobre la bicondicional y sobre ella misma.

[PÞ (QÛR)] º [(PÞQ) Û (PÞR)]

[PÞ (QÞR)] º [(PÞQ) Þ (PÞR)].

Leyes del Algebra de Proposiciones.

Leyes de Idempotencia. PÚPºP; P&PºP

Leyes Conmutativas. (P&Q) º (Q&P); (PÚQ) º (QÚP)

Leyes Asociativas. [(P&Q) &R] º [P& (Q&R)]; [(PÚQ) ÚR] º [PÚ (QÚR)]

Leyes Distributivas. [(P&Q)ÚR] º [(PÚR) & (QÚR)] ;[(PÚQ) &R] º [(P&R)Ú(Q&R)]

Leyes de Identidad. PÚFºP; P&FºF; PÚVºV; P&VºP

Leyes de Complementación. PÚ–PºV; P&-PºF; – –PºP.

Leyes de Morgan –(P&Q)º(–PÚ–Q); –(PÚQ) º (–P&–Q).

La condicional.

La proposición condicional es una de las más importantes de todas las proposiciones compuestas. Varias propiedades matemáticas son planteadas de la forma "Si... entonces...".

Debido a su utilidad, estudiaremos las proposiciones condicionales relacionadas con las aseveraciones de la forma PÞQ.

Cualquier proposición condicional se halla conformada por un antecedente y un consecuente. Si se intercambian, se niegan, o las dos cosas, se forma una nueva proposición condicional. Suponga que comenzamos con la proposición directa.

Si tú te quedas entonces yo voy.

E intercambiamos el antecedente " tú te quedas " y el consecuente " yo voy " Obtenemos una nueva proposición condicional

Si yo voy entonces tú té quedas.

Esta nueva proposición se llama reciproca de la proposición dada.

Negando ambos, el antecedente y el consecuente, obtenemos la inversa de la proposición dada

Si no tú te quedas entonces yo no voy.

Si el antecedente y el consecuente se intercambian y se niegan, se forma la contrapositiva de la proposición dada.

Si yo no voy entonces tú no te quedas.

Proposición Directa	PÞQ	P entonces Q
Reciproca	QÞP	Q entonces P
Inversa	-PÞ-Q	No P entonces no Q
Contrapositiva	-QÞ-P	No Q entonces no P

Si en matemáticas decimos "si P entonces Q", nos estamos refiriendo al teorema de hipótesis P y de tesis Q. Existen diferentes maneras de enunciar los teoremas, es conveniente que examinemos las formas más corrientes que suelen tomar aquéllos.

a) El enunciado "P únicamente si Q", expresa la misma idea que "si -Q entonces -P", esto es que el contrario del recíproco. Por otra parte, sabemos que el directo y el contrario del recíproco de un teorema son equivalentes, podemos concluir que:

"P únicamente si Q"

es equivalente a:

"si P entonces Q"

o sea, el teorema directo.

b) Decir que "P es condición necesaria para Q", equivale a "Q únicamente si P" y como, en virtud del caso anterior, éste equivale a "si Q entonces P", o sea, al recíproco del teorema, tendremos:

"P es la condición necesaria para Q"

equivale a

"si Q entonces P"

o sea, al teorema recíproco.

c) Que "P es la condición suficiente para Q" expresa lo mismo que "si P entonces Q", o sea, que el directo, y por tanto

"P es condición suficiente para Q"

equivale a

"si P entonces Q"

o sea, al teorema directo.

Resumen: Condicional (Implicación).

pÞ q si p entonces q

p sólo si q

q si p

q cuando p

q es necesario para p

para p es necesario q

p es suficiente para q

para q es suficiente p

no p a menos que q

d) Finalmente, decir " P es la condición necesaria y suficiente para Q" equivale a:

"si P entonces Q" y "si Q entonces P"

o sea, a los teoremas directo y recíproco.

Por tanto, para demostrar que " P es la condición necesaria y suficiente para Q" habrá que demostrar los teoremas directo y recíproco. A veces, para expresar que " P es la condición necesaria y suficiente para Q" escribiremos: P sii Q.

Resumen: Bicondicional (Equivalencia). p q « p es necesario y suficiente para q

p si y sólo si q

Para relacionar las distintas proposiciones se utilizan las siguientes conectivas:

Nombre de la conectiva Representación Ejemplos de frases en las que aparece

Negación –p no p

es falso p

no es cierto p

Conjunción p y q

p pero q

p sin embargo q

p no obstante q

p a pesar de q

Disyunción p q Ú o p o q o ambos

al menos p o q

como mínimo p o q