Lógica Proposicional

La lógica proposicional es la parte más elemental de la lógica moderna, estudia las relaciones formales extraproposicionales, es decir, aquellas relaciones existentes entre proposiciones y no las que se da dentro de ellas.

El lenguaje, en el sentido estricto, es un sistema convencional de signos, es decir es un conjunto de sonido y grafías con sentido, sujeto a una determinada articulación interna, en la cual se puede afirmar o negar (oraciones aseverativas o declarativas); expresar deseos (oraciones desiderativas); formular preguntas (oraciones interrogativas); expresar sorpresas o admiración (oraciones exclamativas o admirativas) e indicar exhortación, mandato o prohibición (oraciones exhortativas o imperativas). En este estudio se tomaran en cuenta las expresiones declarativas o aseverativas ya que son las únicas que pueden constituir proposiciones, si cumplen determinados requisitos

Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones.

Las oraciones interrogativas, las exhortativas o imperativas, las desiderativas y las exclamativas o admirativas no son proposiciones porque ningunas de ellas afirman o niegan algo, por tanto, no son verdaderas ni falsas.

Asimismo las oraciones dubitativas, así como los juicios de valor, no obstante afirman algo pero no constituyen ejemplos de proposiciones ya que su verdad o falsedad no puede ser establecida.

Toda proposición es una oración aseverativa, pero no toda oración aseverativa es una proposición.

Por tanto para que una expresión sea una proposición debe cumplir:

a) Ser oración aseverativa

b) Ser o bien verdadera o bien falsa.

No son ejemplos de proposiciones:

a) Las oraciones interrogativas, imperativas o exhortativas, desiderativas, exclamativas y las dubitativas.

b) Los juicios de valor.

Lenguaje de la Lógica Proposicional

La lógica Proposicional pretende estudiar las frases declarativas simples (enunciados o proposiciones) que son los elementos básicos de transmisión de conocimiento humano.

De manera informal, una proposición se define como una frase que puede ser considerada

Verdadera o Falsa y que no se puede descomponer en otras frases Verdaderas o Falsas.

Semántica de la Lógica Proposicional

La teoría semántica de la lógica proposicional trata de atribuir significados (Verdadero o Falso) a las distintas fórmulas del lenguaje. Dichos significados dependen del contexto particular en el que se utilice la fórmula. Cada contexto se denomina Interpretación. Es posible establecer una clasificación de las fórmulas proposicionales en función de los valores que tomen bajo las diferentes interpretaciones.

Proposición

Llamamos proposición lógica o simplemente proposición a toda expresión lingüística o enunciado respecto del cual se disponga de un criterio que nos permita afirmar que su contenido es verdadero o falso. Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la vez. Si una proposición es verdadera decimos que su valor veritativo es V y si es falsa decimos que su valor veritativo es F. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones.

Ejemplos.

1) La tierra es plana.

2) -17 + 38 = 21

3) x > y-9

4) El Caracas será campeón en la presente temporada de Fútbol.

5) Hola ¿cómo estás?

6) Lava el carro por favor.

7) Carmen es prima de José. (Este enunciado puede ser, en efecto, verdadero o falso.)

8) Sofía está de vacaciones.

9) Los niños juegan.

10) Sócrates es un hombre.

11) La cultura es primordial para la humanidad.

12) x + 4 = 26.

13) ¡Dile que pase!

14) ¡Pon el libro en la repisa!

15) Todas las personas tienen que cuidarse mucho.

16) ¿Será eso cierto?

Los apartados (1) y (2) sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El apartado (3) también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y, y en determinado momento. La proposición del apartado (4) también está perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fútbol. Sin embargo los enunciados (5) y (6) no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden, los ejemplos 13) y 14) no constituyen proposiciones, puesto que los enunciados que en ellos figuran no son susceptibles de adaptar uno de los valores: verdadero o falso, y puede afirmarse, en general, que ni las frases imperativas, como 13) y 14), ni las frases interrogativas, del tipo 16), constituyen proposiciones. En cuanto al ejemplo 15), tampoco constituye una proposición, puesto que la partícula “todas” indica que el enunciado debe cumplirse en todos los casos, y por tanto ser siempre verdadero, con lo que desaparece el carácter de bivalencia que caracteriza a toda proposición.

Límites de la lógica proposicional

La maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la validez de una gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen argumentos que son intuitivamente válidos, pero cuya validez no puede ser probada por la lógica proposicional. Por ejemplo, considérese el siguiente argumento:

1. Todos los hombres son mortales.
2. Sócrates es un hombre.
3. Por lo tanto, Sócrates es mortal.

Ejemplos:

1) Todos los humanos son mortales.

Todos los griegos son humanos.

Por consiguientes, todos los griegos son mortales.

2) Hay exactamente 136 cajas de naranjas en el almacén. Cada caja contiene al menos 140 naranjas. Ninguna caja contiene más de 166 naranjas. Por consiguiente, hay en el almacén al menos 6 cajas que contiene el mismo número de naranjas.

3) El número de estrellas es par, y menor que cuatro. Por consiguiente el número de estrellas es la suma de dos números primos.

Variables Proposicionales

El lenguaje simbólico de la lógica pretende simplificar el carácter complejo, confuso y, a veces, ambiguo del lenguaje convencional. Se afronta este problema utilizando símbolos en lugar de proposiciones completas.

Los símbolos que usaremos para presentar las proposiciones son las letras mayúsculas de nuestro alfabeto. Sólo que no empezaremos por la letra A, si bien se podría hacer, sino que empezaremos por la letra P, para seguir la metodología universalmente aceptada. Por lo tanto, los símbolos que usaremos son: P, Q, R, S, T, etc.

Definición: Una variable proposicional es un símbolo con el que se sustituye un único enunciado.

El lenguaje lógico es un lenguaje exacto, su vocabulario es un conjunto de signos y símbolos perfectamente claro y definido, carente de aquella vaguedad propia de nuestro lenguaje, las variables proposicionales representan a cualquier proposición atómica.

Conectivos Lógicos

Son términos de enlaces, que unen dos o más proposiciones, y son a la vez, los que facilitan una operación binaria sobre un conjunto de proposiciones.

Existen conectivos u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones).

Los operadores o conectivos básicos son:

- La conjunción, formada por la palabra “y”, denotada por &, Ù

- La disyunción, formada por la palabra “o”, denotada por Ú

- La condicional, formada por las palabras “si…entonces…”, denotada por →,Þ

- La bicondicional, formada por las palabras “si…sólo si…”, denotada por ↔, Û

- La negación, formada por la palabra “no”, denotada por, ~, Ø ,-

Conjunción

Dos proposiciones unidas entre sí por el término de enlace "y" es la conjunción.

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es: & (Operador and). Se le conoce como la multiplicación lógica.

Ejemplo: Hoy es domingo y voy a pescar.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

P&Q

De igual manera los siguientes términos de enlace: la coma, cuando une dos proposiciones; las conjunciones adversativa "pero" y "más", y el punto cuando relaciona una yuxtapuesta, se considera como una conjunción "y", y por consiguiente, se simbolizan con el mismo símbolo.

Disyunción

Dos proposiciones unidas entre sí por el término de enlace "o" es la disyunción.

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio del siguiente símbolo: Ú. Se conoce como la suma lógica.

Ejemplo: Iré al cine el sábado o el domingo.

PÚ Q

En castellano no se suele usar, en una disyunción, una "o" adelante junto con una "o" central. Esto no indica que hay dos disyunciones, en realidad existe solamente una, sino que es la manera de introducir una proposición disyuntiva.

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado "O vienes a mi casa o yo iré a la tuya".

Si eliminamos de la proposición anterior la primera "o" tenemos: "Vienes a mi casa o yo iré a la tuya", y esto no altera, en absoluto, ni el significado ni su consistencia. Por eso en lógica se simboliza sólo la "o" central, y se pone entre las dos variables.

Condicional

Dos proposiciones unidas por los términos de enlace "Si,...entonces" es una condicional. Se indica por medio del siguiente símbolo: Þ.

La cual se indica de la siguiente manera: PÞQ, Se lee “Si P entonces Q”.

Ejemplo: Si estudias entonces aprobarás.

De tal manera que el enunciado se puede expresar de la siguiente manera.

PÞQ

Como podemos observar, la palabra "si" precede a la primera proposición, y la palabra "entonces" a la segunda.

Esta posición de ambas convierte a la primera proposición en "antecedente", y a la segunda proposición en "consecuente".

Bicondicional

Dos proposiciones unidas por los términos de enlace "Si...y sólo si" es una bicondicional. Se indica por medio del siguiente símbolo: Û.

Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente manera: PÛQ, Se lee “P si solo si Q”

Ejemplo: Es buen estudiante, si y solo si tiene promedio de diez

PÛQ

Negación

La negación de una proposición se expresa mediante la palabra "no". Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos:¬ ,~, –.

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso).

Ejemplo.

La negación de "Está lloviendo en este momento" = P, es: "No está lloviendo en este momento" = -P

Además de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con verdad el resultado es falso.

Por otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos.

Ejemplo

Sean las proposiciones:

P: Hoy es domingo.

Q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.

R: Aprobaré el curso.

El enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el curso”. Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

P&QÚ-R

Proposición Atómica y Molecular.

Una proposición atómica es una variable simple, no tiene conectivos. Es decir, carecen de conjunciones gramaticales típicas o conectivos “y”, “o”, “si.. entonces..”, “Si…y solo si…”, o del adverbio de negación “no”.

Una proposición molecular es una variable acompañada de un conectivo.

Símbolos de Puntuación.

En el lenguaje convencional, el agrupamiento adecuado de las proposiciones se obtienen mediante signos de puntuación .Cuando se simbolizan las proposiciones en lógica, los mencionados signos son sustituidos por un adecuado uso de los paréntesis, corchetes y llaves.

En el lenguaje lógico los paréntesis son los símbolos de puntuación. Muestran como esta agrupada una proposición, y señalan cual es el conectivo dominante.

Las proposiciones moleculares de un solo conectivo pueden ir sin paréntesis.

Ejercicios

1) No llueve

2) O hace frío o hace calor

3) Si no llueve entonces hará calor

El uso del paréntesis se hace imprescindible cuando una proposición molecular consta de dos o más conectivos lógico. Su ubicación debe respetar la puntuación de la proposición en castellano y por lo tanto debe resaltar el conectivo dominante.

1) Si Pedro y Juan estudian entonces aprobaran el examen.

2) Si estudias y obtienes buenas notas entonces iremos a Paris o a Londres.

Cuando hay más de un signo de puntuación, se hace necesario el uso del corchete, para indicar el conectivo dominante.

Ejemplo:

1) Si llueve entonces voy a tu casa. Llueve. Entonces Voy a tu casa.

{[(PÞQ)&P]ÞQ}

Formulas bien formadas.

Una formula lógica, es decir una formula bien formada es una cadena de símbolos construida según las reglas establecidas por la sintaxis lógica.

La sintaxis lógica es una disciplina metalógica que estudia el lenguaje de la lógica desde el punto de vista formal, es decir, sin interesarse más que por las relaciones entre símbolos.

Una formula bien formada consta de símbolos primitivos y de reglas de formación.

Los símbolos primitivos son P₁, P₂, ...,P_n , &, Ú, Þ, Û, –, (), [], íý.

Las reglas de formación de una formula bien formada nos dice:

1) Cada variable proposicional es una formula bien formada.

2) Si "P" es una formula bien formada entonces –P también lo es.

3) Si "P" y "Q" son formulas bien formada entonces PÞQ también lo es.

4) Una formula bien formada son aquellas secuencias de símbolos cuya condición de formula bien formada se puede mostrar mediante un número finito de aplicaciones de las reglas anteriores.

En los siguientes grupos de ejercicios, determine si las expresiones son proposiciones, si es proposición determine si son atomicas y moleculares y realice su formula proposicional.

Ejercicios 1

1) Estudio y aprendo cosas.

2) O estudiamos o seremos aplazados en los exámenes.

3) El dinero es importante, pero pobre del que se convierta en su esclavo.

4) No llueve y no hace frío.

5) La vida es un horizonte de esperanzas.

6) Si el señor William es diputado entonces Pedro y Juan son senadores de la república.

7) La lluvia es necesaria para el campo. Ella es indispensable para que la semilla crezca y de los frutos que el campesino espera.

8) Nueve es un número divisible por tres.

9) Mérida no es un estado andino.

10) ¿Qué superficie tiene la tierra?

11) No hay habitantes en Venus.

12) Entremos al comedor.

Ejercicios 2

1.- 8+2 =18

2.- ¿Quién es el pez gordo del oceano?

3.- Sea bienvenido.

4.- ¡Por fin llegó la primavera!

5.- Los números racionales son inteligentes.

6.- Que tengan ustedes un buen viaje.

7.- Solo se que no se nada.

8.- Juan es bondadoso.

9.- No digas mentiras.

10.- Quizá existan miles de millones de universos.

11.- Los organismos superiores tienen pulmones porque necesitan respirar.

12.- Lima es la capital de México.

13.- Los planetas del sistema solar a excepción de Plutón ocupan el mismo plano con respecto al sol.

14.- El número 5 sonrió.

15.- Los electrones son partículas que se encuentran alrededor del núcleo del átomo.

Ejercicios 3

1. Juan y Pedro son cuñados

2. Toda inferencia inductiva es una inferencia en términos de probabilidad.

3. Hace unos años se consideraba la computadora como una gran calculadora, pero hoy se habla de sus logros intelectuales.

4. El oxígeno no produce óxido en presencia de metaloides.

5. Tanto la suma como la multiplicación de números naturales son asociativas.

6. Los peces son acuáticos puesto que respiran por branquias.

7. La suma de los ángulos internos de un triangulo es igual a 180.

8. Gloria e Irene son de la misma edad.

9. El abuelo y la abuelita obsequiaron una muñeca a su nieta.

10. A la composición química de una sustancia en iones por la acción de la corriente eléctrica se le llama electrolisis.

11. Los términos lenguaje objeto y metalenguaje no son absolutamente relativos.

12. Decir que la inteligencia es hereditaria es defender la idea de que nuestras facultades intelectules se transmiten de padres a hijos casi de la misma manera que el color de los ojos.

13. La molécula de la azúcar está compuesta por átomos de carbono, hidrógeno y oxígeno.

14. Jesús, María y José en el portal de Belem.

15. No se puede pasar cuando el semáforo está en rojo.

17.- Caracas es la capital de Venezuela

18.- Gabriel García Márquez ganó el premio nobel de literatura en 1982

19.- cierra la ventana

20.- levántese

21.- haga la tarea

22.- está lloviendo

23.- New York es la capital más importante del mundo

25.- Las matemáticas son fáciles